Fralbe’s Blog

El diseño de una antena basada en el triángulo de Sierpinski, prácticamente se ve definida por dos parámetros: la altura de la antena (h) y el ángulo de apertura (θ), siendo estas las variables con las cuales se puede interactuar al momento de establecer el diseño para una determinada aplicación.

La altura permite establecer las frecuencias de trabajo de la antena considerando la relación proporcional entre las alturas de los triángulos formados por las diferentes iteraciones. La altura máxima se ve definida por la frecuencia menor de operación y de igual forma la altura menor se corresponde con la frecuencia mayor de trabajo. Para determinar la altura máxima utilizamos la fórmula experimental definida en [1]:

hmax=0.152(c/fn)*cos(θ/2)*(δ^n)

En donde:

fn = frecuencia de resonancia del triángulo formado por la n-esima iteración.

c = velocidad de la luz.

h = altura superior de un lado del dipolo.

θ = ángulo de apertura

δ = periodo de operación

n = número de iteración

Aquí el periodo de operación para un dipolo de Sierpinski se ve definido por la relación entre las diferentes frecuencias de operación, lo que se expresa como:

δ=(fn+1)/(fn) ≈ 2

Siendo:

fn = frecuencia de resonancia del triángulo formado por la n-esima iteración

fn+1 = frecuencia de resonancia del triángulo formado por la n+1 iteración

d = período de operación

Y como ya se ha mencionado con anterioridad las alturas de los triángulos formados por las iteraciones se relacionan con las frecuencias de operación, por lo cual:

δ=(hn)/(hn+1) ≈ 2

Mediante estas fórmulas se puede determinar el valor de las alturas correspondientes para el diseño.

Por otra parte, el ángulo de apertura permite modificar en ocasiones la impedancia de entrada de la antena y sobre todo se utiliza para obtener con mayor precisión las bandas de trabajo puesto que como es de suponerse al disminuir el ángulo de apertura, se trasladan las frecuencias de resonancia a valores menores, pero si dicho ángulo es muy estrecho, se pierde las características multibanda de la antena.

Con esta teoría se puede proceder a realizar los cálculos y posteriormente las simulaciones correspondientes. Las mismas que se presentarán en el siguiente post. Espero también poder subir algunas fotos de las pruebas experimetales.

Nota: Las fórmulas descritas son parte del estudio presentado al respecto en [2].

Referencias:

[1] Arcos Cerda, Diego Alexis. Diseño e implementación de una antena yagi fractal en las bandas de 200, 400 y 800 MHZ. Quito : s.n., 2007. Tesis (ingeniería en electrónica y telecomunicaciones)–Escuela Politécnica Nacional. Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica, 2007.

[2] Fractal mulitband antenna based on the Sierpinski gasket, Yao Na; Shi Xiao-wei
Microwave Conference Proceedings, 2005. APMC 2005. Asia-Pacific Conference Proceedings
Volume 4, Issue , 4-7 Dec. 2005 Page(s): 4 pp. – Digital Object Identifier 10.1109/APMC.2005.1606873

Revisando ligeramente las estadísticas de busquedas por medio de las cuales llegan al blog, es evidente que generalemente están en busca de como diseñar una antena fractal para una frecuencia específica. Para tratar de dar respuesta a esto, iré agregando una serie de post, que en primera instancia se referiran a antenas en base al triángulo de sierpinski. Algo que me anima a hacerlo, es que en su momento me resulto sumamamente complicado encontrar información respecto al tema. Y la verdad no encontre mucha. Lo que se halla con facilidad es referente a la teoía fractal y propiedades, ventajas o características generales de las antenas fractales, pero muy poco respecto a ecuaciones o forma de diseñan una.

Cabe aclarar que la teoría que expondré, por ahora no la he comprobado más que en programas de simulación, pero se ha extraido de fuentes confiables que si han basado su teoría en experiencias prácticas.

Bueno dejado esto en claro, empecemos.

En primera instancia, es necesario explicar algunas consideraciones generales respecto al triángulo de Sierpinski y su aplicación dentro de las antenas fractales:

El triángulo de Sierpinski presenta propiedades multibanda al ser aplicado a una antena, dando como resultado diagramas de radiación de campo lejano similares para diferentes frecuencias cuyo número va en proporción al de iteraciones con los que se trabaja.

La construcción del mismo, parte de un triángulo del cual se toman los puntos medios de sus lados formando un triangulo invertido interior el cual se sustrae de la estructura. Este proceso se repite para cada uno de los triángulos restantes para las siguientes iteraciones. Esto se demuestra en la gráfica.

Triángulo de Sierpinski, proceso de construcción

Generalmente se utiliza como punto de partida un triángulo equilátero pero puede en realidad tomarse un triángulo cualquiera, tomando en cuenta que la variación del ángulo contenido por los lados afecta la impedancia de la antena a obtener y de igual manera modifica el factor de separación de las frecuencias para las cuales trabajará la antena. Para un triángulo equilátero, tenemos que el ángulo contenido es de 60º, por cuanto el factor de obtención de las frecuencias es 2. Esta estructura a mi parecer es de las más aconsejables para trabajar puesto que mantiene un factor estable para todas las iteraciones y facilita el cálculo de la estructura en todo sentido.

Para el diseño se parte de la frecuencia más baja que se desea. Como ejemplo trataremos de realizar el diseño de una antena cuya frecuencia base sea 900MHz. Por tanto, si utilizáramos una geometría con tres iteraciones de un triángulo equilátero, tendríamos diagramas de radiación similares para aproximadamente las frecuencias de 1800 y 3600 MHz.

Las propiedades multibanda de este tipo de antena son más notorios al analizar las gráficas de distribución de corriente sobre la superficie de la antena, ya que se presentan propiedades de similaridad a través de las bandas y un comportamiento multifrecuencial e independiente de la frecuencia.

Distribución de corriente de un dipolo fractal para las frecuencias de 900, 1800 y 3600 MHz respectivamente.

Como puede apreciarse el triángulo mayor se corresponde con la menor frecuencia, en este caso 900 MHz, el intermedio con 1800 MHz, y el triángulo menor con la frecuencia mayor de 3600 MHz.

En la parte dos trataré de incluir las fórmulas a utilizar para realizar los cálculos de dimensión de la antena respecto a la frecuencia. Si tienen alguna pregunta espero me la hagan saber, para en lo posible dar respuesta…