Fractales Clásicos: El Triángulo de Sierpinski Noviembre 17, 2008
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Este particular y famoso fractal, fue introducido por el matemático polaco Waclaw Sierpinski. Se puede describir de la siguiente manera: Como punto de partida contamos con un triángulo equilátero (aunque puede ser un triángulo cualquiera) de lado igual a la unidad (iteración 0). A continuación, tomamos los puntos medios de cada uno de los lados y trazamos a través de ellos un triángulo equilátero invertido de lado igual a ½. El cual recortamos (iteración 1). Seguidamente, para las iteraciones consecutivas repetimos el proceso con cada uno de los diferentes triángulos que se van formando por el proceso de iteración.
Figura 1. de Sierpinski, proceso de construcción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el triángulo de Sierpinski es autosimilar. Se puede descomponer en tres figuras congruentes, cada una de las cuales posee un tamaño igual a la mitad de la original. En definitiva, para una iteración del triángulo de Sierpinski k, dicho fractal se divide en 3k piezas autosimilares las cuales al aumentarse en un factor 2k nos llevan a la figura original.
La dimensión de autosimilaridad para el triángulo de Sierpinski, tomando en cuenta lo expuesto en los párrafos anteriores, se ve determinada por los valores: N=3 y ε=1/2 y es igual a:
Fractales Clásicos: La Curva de Von Koch Noviembre 15, 2008
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La curva de Koch es uno de los fractales más utilizados al momento de realizar antenas, para obtener este, basta, al igual que con otros fractales, con describir como se consiguen las primeras iteraciones. Partimos de un segmento de recta (iteración cero), el cual se divide en tres partes iguales, el segmento central se remplaza por un triángulo equilátero de lado igual a dicho segmento pero suprimiendo el lado que debería ir sobre él. El proceso de iteración descrito se comprende mejor al apreciar las gráficas resultantes que se muestran a continuación.
Figura I.7 Curva de Koch(Creada con Fractint)
Cabe destacar que la curva de Koch presenta una aparente longitud infinita, esto puede concluirse del proceso de construcción. Para cada proceso de iteración, la longitud se incrementa a:
Donde:
Representa la longitud de la curva en el paso precedente. La letra k simboliza la iteración. Cuando el número de iteraciones incrementa la longitud de la curva diverge. Debido a esto, se evidencia que la longitud no es una medida útil para describir la curva de Koch, puesto que no es posible definir el límite de un número infinito de iteraciones. Además como se aprecia en las gráficas, la curva de Koch se construye eficazmente de esquinas por lo que ninguna tangente ocurre en la curva. La curva de Koch no es una curva lisa y no es diferenciable en ninguna parte.
La dimensión de autosimilaridad para la curva de Koch, considerando que en este caso N = 4 y e= 1/3, es igual a:
La dimensión Euclidiana de la curva de Koch es 2, por lo que se necesita dos coordenadas para especificar todos los puntos de la misma.
Fractales Clásicos: La Curva de Hilbert Noviembre 15, 2008
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Para construir la curva de Hilbert se procede así: partimos del cuadrado unidad dividido en cuatro partes iguales y se unen sus centros tal como indica en la Figura 1. Seguidamente, se divide cada uno de los cuadrados en cuatro partes y se repite el proceso; se conectan sus centros, comenzando siempre por el cuadrado inferior izquierdo y terminando en el cuadrado inferior derecho. Este proceso se repite indefinidamente y se obtiene la curva de Hilbert.
Figura 1 Curva de Hilbert (Creada con Fractint)
Fractales Clásicos: La Curva de Peano Noviembre 13, 2008
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La Curva de Peano, nombre en honor al matemático italiano Giuseppe Peano, es una curva que, en su límite, recubre todo el plano. Al cambiar la dimensión en su límite se sitúa en el contexto de la geometría fractal.
La construcción de dicha curva puede realizarse mediante dos métodos distintos, uno de ellos es:
Partimos de un segmento de longitud unidad. Deducimos 9 nuevos segmentos, cada uno de longitud 1/3, que situamos en la disposición representada en la figura primera de la secuencia. Comenzando con un intervalo, este se sustituye por una curva poligonal autointersecante formada por nueve segmentos iguales. Este proceso se repite en cada uno de estos nueve segmentos continuando el proceso indefinidamente. El objeto así engendrado es estrictamente autosemejante, ya que puede obtenerse como reunión de n=9 conjuntos semejantes a Q, reducidos cada uno de ellos en la proporción 1/k=1/3.
Figura 1. Curva de Peano: (a) primera iteración, (b) segunda iteración, (c) tercera iteración, (d) cuarta iteración (Creada con Fractint)
La dimensión de Hausdorff- Besicovitch para la curva de Peano. Viene dada por:
Se puede observar que su dimensión fractal es 2, es decir, tiene la misma dimensión que una superficie plana debido a que la curva rellena el plano y todos los puntos del plano pertenecen a la curva de Peano al continuar el proceso hasta el infinito. Este fractal es una de las excepciones (junto con el triángulo de Sierpinski y el polvo de Cantor) a la definición de Mandelbrot ya que la dimensión Hausdorff – Besicovitch excede a la dimensión topológica, que es 1 y además es entera y no fraccionaria.
Fractales Clásicos: Conjunto de Cantor Noviembre 13, 2008
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Existen algunas estructuras que pueden ser consideradas como las pioneras dentro de los fractales y que fueron desarrolladas entre fines del siglo IXX y principios del XX, entre ellas se puede mencionar el conjunto de Cantor (1883), la curva de Peano (1890), la curva de Hilbert (1891), la isla de Von Koch (1906), el triangulo de Sierpinski (1915), el conjunto de Julia (1918), el dragón de Lévy (1938), entre otros. Algunas de estas estructuras trataré de describirlas a lo largo de algunos post. Por ahora empezamos con el fractal básico o pionero: el conjunto de Cantor.
Conjunto de Cantor:
El conjunto o polvo de Cantor, conocido de tal forma por su precursor George Cantor[1] en 1883, es un destacado subconjunto fractal del intervalo real [0,1]; quizás la primera estructura fractal de la que se tiene registro.
La construcción del conjunto de Cantor, fractal realizado mediante remoción de partes de una figura geométrica, se hace utilizando el siguiente algoritmo:
Estado inicial: Un segmento 0-1.
Etapa 1: Se divide el segmento en tres partes iguales y se elimina la parte central.
Etapa 2: Iterar la etapa 1 con cada uno de los segmentos obtenidos
La reunión de los “infinitos” segmentos que no han sido eliminados es el conjunto de Cantor, formado por una sucesión de segmentos cuyas longitudes “tienden” a cero. Es claro que los extremos de cada subintervalo pertenecen 0 y 1, 1/3 y 2/3, 1/9, 2/9, 7/9 y 8/9, 1/27…, hay una infinidad de puntos: los 1/3n están todos incluidos, con n describiendo los naturales. Pero hay mucho más, por ejemplo 1/4 es un elemento del conjunto de Cantor.
Fig. 1 Conjunto de Cantor
Sin embargo, el conjunto es pequeño cuando se considera su longitud: el intervalo inicial [0,1] mide 1, y a cada paso, se le quita un tercio, lo que hace que su longitud se multiplique por 2/3. La sucesión geométrica un = (2/3)n tiende hacia cero, Por lo tanto el conjunto de Cantor es de medida nula. Esto implica, en particular, que el conjunto de Cantor no puede contener ningún intervalo de medida no nula.
Al calcular la dimensión del conjunto de Cantor se tiene:
[1] Georg Cantor (n. San Petersburgo, 3 de marzo de 1845, m. Halle, 6 de enero de 1918) fue un matemático alemán, inventor con Dedekind de la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas.
Dimensión topológica y dimensión fractal Noviembre 11, 2008
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El concepto de dimensión topológica fue introducido por Henri Poincaré[1]. La definición inductiva dada por Poincaré al introducir este concepto fue la siguiente:
El conjunto vacío tiene dimensión –1.
Si los bordes de los entornos pequeños de todos los puntos del ente son espacios (n-1)-dimensionales, decimos que el espacio que consideramos es n-dimensional.
Así, según esto, se tiene:
Conjunto vacío: dimensión topológica: D = -1 Punto: dimensión topológica: D = 0 Segmento: dimensión topológica: D = 1 Cuadrado: dimensión topológica: D = 2 Cubo: dimensión topológica: D = 3Otra definición de la dimensión topológica de un objeto geométrico la dio K. Devlin en 1988. Es la definición por el movimiento:
En una curva solo es posible moverse en una dirección, adelante o hacia atrás. En una superficie es posible ir adelante, atrás, a derecha, a izquierda. En un volumen es posible moverse, además, hacia arriba, hacia abajo. La curva tiene una dimensión, la superficie tiene dos dimensiones y el volumen tiene tres dimensiones.
Una definición distinta de dimensión topológica es la definición por semejanza, llamada también de autosemejanza, que sugirió Felix Hausdorff[2] en 1919, readaptada posteriormente por Besicovich[3] (dimensión de Hausdorff-Besicovich):
Si al obtener desde un ente H, N entes iguales, semejantes al original, con razón de semejanza e, entonces la dimensión topológica de H es el número real D que verifica:
O sea, Ln N + D · Ln e = 0. Por tanto:
Esta definición se puede justificar desde la teoría de la medida:
La medida de la unión de N figuras que no se solapan A1, A2,…, AN, es la suma algebraica de sus medidas:
Si una figura A es semejante a otra figura A’, con razón de semejanza e, la medida de A es proporcional a la medida de A’, siendo la constante de proporcionalidad una potencia de la razón de semejanza:
Así pues, para obtener la definición de Hausdorff-Besicovich mediante la medición de un segmento AB del que se obtienen N subsegmentos iguales, cuya razón de semejanza con AB es e, despreciando el resto del segmento. La media total del segmento AB es la suma de la medida de todos los subsegmentos iguales:
Por otra parte:
El exponente D es, pues, lo que Husdorff-Besicovich llama dimensión de autosemejanza.
Ejemplos elementales:
Un segmento:
Si se lo divide, por ejemplo, en dos partes iguales. N = 2, e = ½. Se tiene:
Dimensión de autosemejanza: D = 1.
Un cuadrado:
Si se lo dividide, por ejemplo, en 4 cuadrados iguales. N = 4. e = ½. Se tiene:
Dimensión de autosemejanza: D = 2.
Un cubo:
Si se lo divide, por ejemplo, en 8 cubos iguales. N = 8. r = ½. Se tiene:
Dimensión de autosemejanza: D = 3.
La dimensión topológica en el sentido de Poincaré o de Devlin coincide en general con la dimensión por semejanza de Hausdorff-Besicovich. Pero en los fractales no ocurre así. Se dice entonces, que la dimensión definida por Poincaré o Devlin es su Dimensión Topológica y que la dimensión por semejanza de Hausdorff-Besicovich es su Dimensión Fractal.
[1] Henri Poincaré, fue un prestigioso matemático francés, científico teórico y filósofo de la ciencia. Algunos de sus trabajos más importantes incluyen los tres volúmenes de Los nuevos métodos de la mecánica celeste, y Lecciones de mecánica celeste. También escribió numerosas obras de epistemología, propedéutica, metodología y divulgación científica.
[2] Felix Hausdorff, fue un matemático alemán que está considerado como uno de los fundadores de la moderna Topología y que ha contribuido significativamente a la Teoría de conjuntos, Teoría Descriptiva de Conjuntos, Teoría de la Medida, Análisis Funcional y Teoría de Funciones.
[3] Abram Samoilovitch Besicovitch (24 Enero 1891 – 2 Noviembre 1970) fue un matemático Ruso-Judío, quien trabajo en Inglaterra.
Tomado de: Salbor-Albor, C. Sobre el concepto de fractal. Marchena (Sevilla) : s.n., Noviembre, 1998.
