Fralbe’s Blog

Este particular y famoso fractal, fue introducido por el matemático polaco Waclaw Sierpinski. Se puede describir de la siguiente manera: Como punto de partida contamos con un triángulo equilátero (aunque puede ser un triángulo cualquiera) de lado igual a la unidad (iteración 0). A continuación, tomamos los puntos medios de cada uno de los lados y trazamos a través de ellos un triángulo equilátero invertido de lado igual a ½. El cual recortamos (iteración 1). Seguidamente, para las iteraciones consecutivas repetimos el proceso con cada uno de los diferentes triángulos que se van formando por el proceso de iteración.

Figura 1. de Sierpinski, proceso de construcción.

Como se puede apreciar en la gráfica, el triángulo de Sierpinski es autosimilar. Se puede descomponer en tres figuras congruentes, cada una de las cuales posee un tamaño igual a la mitad de la original. En definitiva, para una iteración del triángulo de Sierpinski k, dicho fractal se divide en 3k piezas autosimilares las cuales al aumentarse en un factor 2k nos llevan a la figura original.

La dimensión de autosimilaridad para el triángulo de Sierpinski, tomando en cuenta lo expuesto en los párrafos anteriores, se ve determinada por los valores: N=3 y ε=1/2 y es igual a:

Para construir la curva de Hilbert se procede así: partimos del cuadrado unidad dividido en cuatro partes iguales y se unen sus centros tal como indica en la Figura 1. Seguidamente, se divide cada uno de los cuadrados en cuatro partes y se repite el proceso; se conectan sus centros, comenzando siempre por el cuadrado inferior izquierdo y terminando en el cuadrado inferior derecho. Este proceso se repite indefinidamente y se obtiene la curva de Hilbert.

Figura 1 Curva de Hilbert (Creada con Fractint)

La Curva de Peano, nombre en honor al matemático italiano Giuseppe Peano, es una curva que, en su límite, recubre todo el plano. Al cambiar la dimensión en su límite se sitúa en el contexto de la geometría fractal.

La construcción de dicha curva puede realizarse mediante dos métodos distintos, uno de ellos es:

Partimos de un segmento de longitud unidad. Deducimos 9 nuevos segmentos, cada uno de longitud 1/3, que situamos en la disposición representada en la figura primera de la secuencia. Comenzando con un intervalo, este se sustituye por una curva poligonal autointersecante formada por nueve segmentos iguales. Este proceso se repite en cada uno de estos nueve segmentos continuando el proceso indefinidamente. El objeto así engendrado es estrictamente autosemejante, ya que puede obtenerse como reunión de n=9 conjuntos semejantes a Q, reducidos cada uno de ellos en la proporción 1/k=1/3.

Figura 1. Curva de Peano: (a) primera iteración, (b) segunda iteración, (c) tercera iteración, (d) cuarta iteración (Creada con Fractint)

La dimensión de Hausdorff- Besicovitch para la curva de Peano. Viene dada por:

Se puede observar que su dimensión fractal es 2, es decir, tiene la misma dimensión que una superficie plana debido a que la curva rellena el plano y todos los puntos del plano pertenecen a la curva de Peano al continuar el proceso hasta el infinito. Este fractal es una de las excepciones (junto con el triángulo de Sierpinski y el polvo de Cantor) a la definición de Mandelbrot ya que la dimensión Hausdorff – Besicovitch excede a la dimensión topológica, que es 1 y además es entera y no fraccionaria.